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等比级数求和公式

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等比级数求和公式

等比级数求和公式

  是Sn=a1/(1-q)的。

等比级数求和公式

  等比级数若收敛,则其公比q的绝对值必小于1。

  故当n趋向于无穷时,等比数列求和公式中q的n次方趋于0(|q|<1),此时Sn=a1/(1-q)。

  q大于1时等比级数发散。

  等比数列(又名几何数列):是一种特殊数列。

  它的特点是:从第2项起,每一项与前一项的比都是一个常数。

扩展

等比数列求和公式

  q≠1时 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)

  q=1时Sn=na1

  (a1为首项,an为第n项,d为公差,q 为等比)

  这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0),等比数列a1≠ 0。

  注:q=1 时,{an}为常数列。

  利用等比数列求和公式可以快速的计算出该数列的和。

等比数列求和公式推导

  Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)

  qSn=a1q + a2q + a3q +...+ anq = a2+ a3+ a4+...+ an+ a(n+1)

  Sn-qSn=(1-q)Sn=a1-a(n+1)

  a(n+1)=a1qn

  Sn=a1(1-qn)/(1-q)(q≠1)

等差数列和公式

  Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)/2 d

  等比数列公式就是在数学上求一定数量的等比数列的和的公式。

  另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列。

通项公式

  An=A1*q^(n-1);

推广式

  An=Am·q^(n-m);

求和公式

  Sn=nA1(q=1)

  Sn=[A1(1-q)^n]/(1-q)

性质

  ①若 m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am·an=ap*aq;

  ②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列.

  “G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.

  在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.

  注意:上述公式中A^n表示A的n次方.

  对于一个数列 {an},如果任意相邻两项之商(即二者的比)为一个常数,那么该数列为等比数列,且称这一定值商为公比 q ;从第一项a1 到第n项an 的总和,记为Tn 。

  那么, 通项公式为 (即a1 乘以q 的 (n-1)次方,其推导为“连乘原理”的思想:a2=a1 * q,

  a3= a2 * q,

  a4= a3 * q,

  an=an-1 * q,

  将以上(n-1)项相乘,左右消去相应项后,左边余下an , 右边余下a1和(n-1)个q的乘积,也即得到了所述通项公式。

  此外, 当q=1时 该数列的前n项和:Sn=nA1(q=1)

  当q≠1时 该数列前n 项的和:Sn=[A1(1-q)^n]/(1-q)

等差数列

  对于一个数列{ an },如果任意相邻两项之差为一个常数,那么该数列为等差数列,且称这一定之差位公差,记为 d ;从第一项 a1到第n项 an的总和,记为Sn 。

  那么 , 通项公式为An=A1*q^(n-1)

  其求法很重要,利用了“叠加原理”的思想:

  将以上 n-1 个式子相加, 便会接连消去很多相关的项 ,最终等式左边余下an ,而右边则余下a1和 n-1 个d,如此便得到上述通项公式。

  此外, 数列前 n 项的和 ,其具体推导方式较简单,可用以上类似的叠加的方法,也可以采取迭代的方法,在此,不再复述。

  值得说明的是, ,也即,前n项的和Sn 除以 n 后,便得到一个以a1 为首项,以 d /2 位公差的新数列,利用这一特点可以使很多涉及Sn的数列问题迎刃而解。

等比级数求和公式是什么

  等比级数若收敛,则其公比q的绝对值必小于1。

  故当n趋向于无穷时,等比数列求和公式中q的n次方趋于0(|q|<1),此时Sn=a1/(1-q)。

  q大于1时等比级数发散。

  等比数列(又名几何数列):是一种特殊数列。

  它的特点是:从第2项起,每一项与前一项的比都是一个常数。

  扩展资料:

  根据历史传说记载,国际象棋起源于古印度,见诸于文献最早的记录是在萨珊王朝时期用波斯文写的.据说,有位印度教宰相见国王自负虚浮,决定给他一个教训.他向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏.国王当时整天被一群溜须拍马的大臣们包围,百无聊赖,很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情。

  国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣,高兴之余,他便问那位宰相,作为对他忠心的奖赏,他需要得到什么赏赐.宰相开口说道:请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子,第二个格子上放2粒,第三个格子上放4粒,第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的倍数,直到最后一个格子第64格放满为止,这样我就十分满足了. “好吧!”国王哈哈大笑,慷慨地答应了宗师的这个谦卑的请求。

  这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢?稍微算一下就可以得出:1+2+2^2+2^3+2^4+……+2^63=2^64-1,直接写出数字来就是1844 6744 0737 0955 1615粒,这位宰相所要求的,竟是全世界在两千年内所产的小麦的总和。

  如果造一个宽四米,高四米的粮仓来储存这些粮食,那么这个粮仓就要长三亿千米,可以绕地球赤道7500圈,或在日地之间打个来回。

  国王哪有这么多的麦子呢?他的一句慷慨之言,成了他欠宰相西萨·班·达依尔的一笔永远也无法还清的债。

  正当国王一筹莫展之际,王太子的数学教师知道了这件事,他笑着对国王说:“陛下,这个问题很简单啊,就像1+1=2一样容易,您怎么会被它难倒?”国王大怒:“难道你要我把全世界两千年产的小麦都给他?”年轻的教师说:“没有必要啊,陛下。

  其实,您只要让宰相大人到粮仓去,自己数出那些麦子就可以了。

  假如宰相大人一秒钟数一粒,数完1844 6744 0737 0955 1615粒麦子所需要的时间,大约是5800亿年(大家可以自己用计算器算一下!)。

  就算宰相大人日夜不停地数,数到他自己魂归极乐,也只是数出了那些麦粒中极小的一部分。

  这样的话,就不是陛下无法支付赏赐,而是宰相大人自己没有能力取走赏赐。

  国王恍然大悟,当下就召来宰相,将教师的方法告诉了他。

  西萨·班·达依尔沉思片刻后笑道:“陛下啊,您的智慧超过了我,那些赏赐……我也只好不要了!”当然,最后宰相还是获得了很多赏赐(没有麦子)。

  等比数列,最基本的特点就是数列从第二项开始,每一项与前一项的比值,都是一个定值。

  比如数列{1,2,4,8,16,……},后一项与前一项的比值都是 2,那么这就是一个等比数列。

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