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欧拉公式是什么

　　是R+V-E=2的。

　　拓扑学中，在任何一个规则球面地图上，用R记区域个 数，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+V-E=2，这就是欧拉定理。

　　它于1640年由 Descartes首先给出证明，后来 Euler(欧拉 )于1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。

　　欧拉公式（英语：Euler's formula，又称尤拉公式）是复分析领域的公式，它将三角函数与复指数函数关联起来，因其提出者莱昂哈德·欧拉而得名。

　　欧拉公式提出，对任意实数 {\displaystyle x}，都存在。

　　欧拉公式在数学、物理和工程领域应用广泛。

　　物理学家理查德·费曼(Richard Phillips Feynman)将欧拉公式称为：我们的珍宝和数学中最非凡的公式。

　　法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯(Pierre-Simon marquis de Laplace)曾这样评价欧拉对于数学的贡献：读欧拉的著作吧，在任何意义上，他都是我们的大师。

欧拉公式是什么？

　　欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。

　　其中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公式，即将复数、指数函数与三角函数联系起来。

　　拓扑学中的欧拉多面体公式。

　　初等数论中的欧拉函数公式。

　　欧拉公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律，它只适用于简单多面体。

　　常用的欧拉公式有复数函数e^ix=cosx+isinx，三角公式d＾2=R＾2-2Rr

　　，

　　物理学公式F=fe^ka等。

　　复变函数

　　e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。

　　它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

　　[2]

　　欧拉公式

　　e^ix=cosx+isinx的证明：

　　因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……

　　cos

　　x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……

　　sin

　　x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……

　　在e^x的展开式中把x换成±ix.

　　(±i)^2=-1，

　　(±i)^3=i，

　　(±i)^4=1

　　……

　　e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!ix^3/3!+x^4/4!……

　　=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)

　　所以e^±ix=cosx±isinx

　　将公式里的x换成-x，得到：

　　e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：

　　sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。

　　将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：

　　恒等式

　　e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。

　　数学家们评价它是上帝创造的公式

　　那么这个公式的证明就很简单了，利用上面的e^±ix=cosx±isinx。

　　那么这里的π就是x，那么

　　e^iπ=cosπ+isinπ

　　=-1

　　那么e^iπ+1=0

　　这个公式实际上是前面公式的一个应用。

　　分式

　　　　分式里的欧拉公式：

　　　　a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)

　　　　当r=0，1时式子的值为0

　　　　当r=2时值为1

　　　　当r=3时值为a+b+c

　　三角公式

　　　　三角形中的欧拉公式：

　　　　设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：

　　　　d＾2=R＾2-2Rr

　　拓扑学说

　　　　拓扑学里的欧拉公式：

　　拓扑学　　V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数，X(P)是多面体P的欧拉示性数。

　　　　如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。

　　[3]

　　　　X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。

　　初等数论

　　　　初等数论里的欧拉公式：

　　　　欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。

　　n是一个正整数。

　　　　欧拉证明了下面这个式子：

　　　　如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中众pj(j=1，2，……，m)都是素数，而且两两不等。

　　则有

　　　　φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)

　　　　利用容斥原理可以证明它。

　　物理学

　　欧拉公式应用

　　众所周知，生活中处处存在着摩擦力，欧拉测算出了摩擦力与绳索缠绕在桩上圈数之间的关系。

　　现将欧拉这个颇有价值的公式列在这里：

　　F=fe^ka

　　其中，f表示我们施加的力，F表示与其对抗的力，e为自然对数的底，k表示绳与桩之间的摩擦系数，a表示缠绕转角，即绳索缠绕形成的弧长与弧半径之比。

　　　　此外还有很多著名定理都以欧拉的名字命名。