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偏导数基本公式

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偏导数基本公式

偏导数基本公式

  是f'x=(x^2)'+2y *(x)'=2x+2y的。

  偏导数公式就是f'x=(x^2)'+2y *(x)'=2x+2y。

  偏导数是一个整体记号,不能看成一个微分的商。

  分母与分子是一个整体,不可以分开,与dy/dx不太一样。

  对x求偏导就是f'x=(x^2)'+2y *(x)'=2x+2y。

  其实,偏导数中的,意义还是无限小增量;

  u/x还是微商,跟dy/dx的微商是一样的意义。

u/x与du/dx区别在于

  dx这一无限小的增量是由x的无限小的增量dx所导致;

  du这一无限小的增量可能由dx导致,可能由dy导致,可能由dz导致,

  也可能是它们的几个变量的微小增量共同导致,也可能是所有变量集体导致。

偏导数

  在一元函数中,导数就是函数的变化率。

  对于二元函数研究它的变化率,由于自变量多了一个,情况就要复杂的多。

  在 xOy 平面内,当动点由 P(x0,y0) 沿不同方向变化时,函数 f(x,y) 的变化快慢一般说来是不同的,因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 点处沿不同方向的变化率。

  在这里我们只学习函数 f(x,y) 沿着平行于 x 轴和平行于 y 轴两个特殊方位变动时, f(x,y) 的变化率。

  偏导数的表示符号为:∂。

  偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。

x方向的偏导

  设有二元函数 z=f(x,y) ,点(x0,y0)是其定义域D 内一点。

  把 y 固定在 y0而让 x 在 x0有增量 △x ,相应地函数 z=f(x,y) 有增量(称为对 x 的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

  偏导数如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在,那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数,记作 f’x(x0,y0)或。

  函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数,实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后,一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。

y方向的偏导

  同样,把 x 固定在 x0,让 y 有增量 △y ,如果极限存在那么此极限称为函数 z=(x,y) 在 (x0,y0)处对 y 的偏导数。

  记作f’y(x0,y0)。

相关求法

  当函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的两个偏导数 f’x(x0,y0) 与 f’y(x0,y0)都存在时,我们称 f(x,y) 在 (x0,y0)处可导。

  如果函数 f(x,y) 在域 D 的每一点均可导,那么称函数 f(x,y) 在域 D 可导。

  此时,对应于域 D 的每一点 (x,y) ,必有一个对 x (对 y )的偏导数,因而在域 D 确定了一个新的二元函数,称为 f(x,y) 对 x (对 y )的偏导函数。

  简称偏导数。

  按偏导数的定义,将多元函数关于一个自变量求偏导数时,就将其余的自变量看成常数,此时他的求导方法与一元函数导数的求法是一样的。

几何意义

  表示固定面上一点的切线斜率。

  偏导数 f’x(x0,y0) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率;偏导数 f’y(x0,y0) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。

  高阶偏导数:如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f’x(x,y) 与 f’y(x,y) 仍然可导,那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。

  二元函数的二阶偏导数有四个:f"xx,f"xy,f"yx,f"yy。

注意

  f"xy与f"yx的区别在于:前者是先对 x 求偏导,然后将所得的偏导函数再对 y 求偏导;后者是先对 y 求偏导再对 x 求偏导。

  当 f"xy 与 f"yx 都连续时,求导的结果与先后次序无关。

偏导数公式是什么?

  偏导数公式就是fx=(x^2)+2y *(x)=2x+2y。

  其实偏导数中的意义还是无限小增量;u/x还是微商,跟dy/dx的微商是一样的意义。

  偏导数是一个整体记号,不能看成一个微分的商。

  分母与分子是一个整体,不可以分开,与dy/dx不太一样。

  二阶偏导数公式:

  z/x=[√(x+y)-x·2x/2√(x+y)]/(x+y)=y/[(x+y)^(3/2)];

  z/y=-x·2y/2√(x+y)^(3/2)]=-xy/[(x+y)^(3/2)];

  z/x=-(3/2)y·2x/[(x+y)^(5/2)]=-3xy/[(x+y)^(5/2)];

  z/xy=[2y·[(x+y)^(3/2)-y·(3/2)·[(x+y)^(1/2)2y]/[(x+y)]。

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