偏导数基本公式

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偏导数基本公式

　　是f'x=(x^2)'+2y *(x)'=2x+2y的。

　　偏导数公式就是f'x=(x^2)'+2y *(x)'=2x+2y。

　　偏导数是一个整体记号，不能看成一个微分的商。

　　分母与分子是一个整体，不可以分开，与dy/dx不太一样。

　　对x求偏导就是f'x=(x^2)'+2y *(x)'=2x+2y。

　　其实，偏导数中的，意义还是“无限小增量；

　　u/x还是微商，跟dy/dx的微商是一样的意义。

u/x与du/dx区别在于

　　dx这一“无限小的增量是由x的无限小的增量dx所导致；

　　du这一“无限小的增量可能由dx导致，可能由dy导致，可能由dz导致，

　　也可能是它们的几个变量的微小增量共同导致，也可能是所有变量集体导致。

偏导数

　　在一元函数中，导数就是函数的变化率。

　　对于二元函数研究它的“变化率，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多。

　　在 xOy 平面内，当动点由 P(x0，y0) 沿不同方向变化时，函数 f(x，y) 的变化快慢一般说来是不同的，因此就需要研究 f(x，y) 在 (x0，y0) 点处沿不同方向的变化率。

　　在这里我们只学习函数 f(x，y) 沿着平行于 x 轴和平行于 y 轴两个特殊方位变动时， f(x，y) 的变化率。

　　偏导数的表示符号为:∂。

　　偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。

x方向的偏导

　　设有二元函数 z=f(x，y) ，点(x0，y0)是其定义域D 内一点。

　　把 y 固定在 y0而让 x 在 x0有增量 △x ，相应地函数 z=f(x，y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x，y0)-f(x0，y0)。

　　偏导数如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x，y) 在 (x0，y0)处对 x 的偏导数，记作 f’x(x0，y0)或。

　　函数 z=f(x，y) 在(x0，y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x，y0)在 x0处的导数。

y方向的偏导

　　同样，把 x 固定在 x0，让 y 有增量 △y ，如果极限存在那么此极限称为函数 z=(x，y) 在 (x0，y0)处对 y 的偏导数。

　　记作f’y(x0，y0)。

几何意义

　　表示固定面上一点的切线斜率。

　　偏导数 f’x(x0，y0) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率；偏导数 f’y(x0，y0) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。

　　高阶偏导数：如果二元函数 z=f(x，y) 的偏导数 f’x(x，y) 与 f’y(x，y) 仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x，y) 的二阶偏导数。

　　二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。

注意

　　f"xy与f"yx的区别在于：前者是先对 x 求偏导，然后将所得的偏导函数再对 y 求偏导；后者是先对 y 求偏导再对 x 求偏导。

　　当 f"xy 与 f"yx 都连续时，求导的结果与先后次序无关。